1. Der skal være en situation, hvor vi ikke kan forudsige, hvad der vil ske. 2. Udfaldene er de muligheder, vi vil tage i betragtning.
Geometrisk Fordeling.
Dette er en ligning til beregning af sandsynligheden i en given situation.
p er sandsynligheden for at få succes i hvert forsøg. n er nummeret på antal forsøg første gang, vi får succes.
X: vi har en uendelig lang række af mulige antal forsøg, og X må altså ikke sættes til et bestemt tal. Til gengæld kan du sætte det lig med n, som er nummeret på antal forsøg, første gang vi får succes. Altså vil: X = 1 à angive hændelsen at få en 6'er første gang X = 2 à angive hændelsen, at den første 6'er fås anden gang.
Et eksempel kunne være: Vi kaster med en terning og vil finde sandsynligheden for at få den første 6'er ved 5. slag.
Vi sætter altså n til 5, da vi skal finde sandsynligheden for at få succes første gang i 5. slag. På en terning er der 6 mulige udfald, som vi vil tage i betragtning, vi har muligheden for at slå 1, 2, 3, 4, 5 og 6. En 6'er er én ud af de 6 mulige, og sandsynligheden, p, for at udfaldet bliver 6 er derfor 1/6.
Tallene kan vi nu sætte ind i formlen for sandsynligheden:
Hvis formlen for sandsynlighed er svær at forstå, kan vi vise, at resultatet giver det samme med en anden metode.
Når vi skal finde sandsynligheden for, at den første 6'er fås i 5. slag, vil vi starte med at se, hvad sandsynligheden er for ikke at få en 6'er i første slag. Der er 5 muligheder for udfald, der ikke giver 6, og sandsynligheden er derfor 5/6. Igen i 2. slag vil sandsynligheden for ikke at få en 6'er være 5/6, og det samme i 3. og 4. slag. I 5. slag vil vi dog ikke finde sandsynligheden for ikke at få en 6'er, men netop for at få en 6'er! Sandsynligheden er nu 1/6.
Denne metode kan være god til at lære at forstå sandsynlighed, dog er den ikke så nem at benytte i praktisk og med sværere sandsynlighedsregning.
Geometrisk sum
Stokastisk eksperiment: Et eksperiment, hvor vi ikke på forhånd kan have en fornuftig formodning om resultatet.
Hvis det samme stokastiske eksperiment gentages nogle gange, vil udfaldet variere tilfældigt fra gang til gang. Man kan skabe sig et overblik over fordelingen af udfaldene ved at beregne de ideelle frekvenser. Disse repræsenterer vores forventning om, hvad der vil ske i et meget stort antal forsøg:
Stokastisk modelfor eksperimentet:
Hvis vi fx kaster en terning, vil de seks mulige udfald ideelt forekomme lige ofte. Derfor sætter sandsynligheden for alle udfaldene til 1/6, da vi forventer, de hver vil forekomme i en sjettedel af tilfældene, hvis terningen kastes »uendelig mange gange«.
Da sandsynlighederne kan tolkes som frekvenser, vil vi forlange, at de opfører sig på samme måde som frekvenser. Det er vigtigt at fremhæve:
Enhver sandsynlighed ligger mellem 0 og 1: 0 ≤ p ≤1. 2. Summen af sandsynlighederne skal altid give 1:
p1 +p2+... +pn = 1.
Eksempel:
Der er seks mulige udfald, når man kaster med en terning, og hvis man lægger alle udfaldenes sandsynligheder sammen skal det giver 1.
Teori og udregning:
For at se, at dette er rigtigt, skal vi se på noget teori bag. Vi kan benytte ligningen for sandsynlighed, som også ses i ”Geometrisk Fordeling”. eller Dette betyder at n starter på 1 og fortsætter til uendeligt.
For at gøre ligningen lettere at benytte ændrer vi n til at starte med 0. Vi isolerer nu p:
Herefter benytter vi ligningen for uendelige geometriske rækker, som er følgende: For at den er lettere at regne med, ganger vi med -1 i både nævner og tæller, og vi får: Hvis vi sammenligner de to ligninger, ser vi, at (1-p) i sandsynlighedsligningen står på samme plads som x ligningen for uendelige geometriske rækker. Vi kan derfor indsætte (1-p) på x’s plads i ligningen for uendelige geometriske rækker: Vi får altså 1/p, som vi nu sætter tilbage ind i ligningen for sandsynligheden, og ganger det med det p vi før isolerede væk: Vi får altså et resultat, der altid vil give 1.
Geometrisk række
En geometrisk række er defineret som summen af tallene i en geometrisk følge. En geometrisk række har den egenskab, at forholdet mellem et tal i rækken og det foregående tal er ens gennem hele rækken. En geometrisk følge ser således ud: Vi skal vise, at udtrykket for denne sum kan simplificeres til følgende,
Vi laver et eksperiment, hvor vi har en endelig række af forsøg. Denne række kalder vi i eksperimentet for r, og vi lader n være 5, Dette udtryk kan simplificeres ved at gange med (1-r), Her kan man se, at alle ledende, undtagen det yderste led i hver ende, vil gå ud med hinanden, Det hedder, at summen teleskoperer, ogr reduceres til Da vi lod n være 5 i eksperimentet passer det til den tidligere formel, fordi ar^6 er det samme som ar^(5+1). n+1 angiver altså antallet af forsøg.
En geometrisk række kan altså simplificeres ved at gange med (1-r) Herefter kan man sætte a udenfor parentes, Og så kan man dividere med (1-r) for at få formlen for en geometrisk række, Men hvis rækken starter fra et tal, som ikke er 0, h, så er formlen, Her følger en hurtig gennemgang af en række, hvor k ikke er 0,
Hvis man derimod har en uendelig lang række, og den numeriske værdi af r er mindre end 1 ( |r|<1 ), kan man beregne den endelige sum ved formlen, som vi udledte før, Summen i en uendelig geometrisk række, hvis rækken starter med en eksponent på 0, kan beregnes ved a/1-r. Eller i tilfælde af at rækken starter på et tal, som ikke er 0, h, er formlen, Disse formler gælder dog kun, hvis |r|<1.
Anvendelse
Geometriske rækker kan blandt andet bruges til beregning af saldoen på en opsparing. Som eksempel har vi en bankkonto, hvor vi hvert år indsætter 1000 kroner. På denne konto får vi 2 % i rente hvert år. Ved hjælp af den tidligere udledte formel kan vi så beregne saldoen efter et bestemt antal år. Her tager vi 5 år som eksempel. Formlen med vores informationer indsat i vil så være, I relation til de tidligere formler er a her 1000, r er 1.02 og n er 5. Summen af den geometriske række fra 0 til 5 vil så være saldoen efter 5 år, Saldoen efter 5 år er 5204 kroner.
Middelværdi
Når man taler om middelværdi, kan det have to betydninger. Det to betydninger er gennemsnittet og forventningsværdien.
Gennemsnittet kan regnes på flere måder, men den mest anvendte er det artimetiske-gennemsnit. Her tager man summen af en række tal og dividerer med antallet af tal. Denne regnemetode skrives således: Gennemsnittet af tallene er Hvor k er er antallet af forsøg og i er indført som hjælpe udtryk.
Forventningsværdien:
Forventningsværdien for et forsøg, der er udført uendelig mange gange kan beregnes ud fra den geometriske fordeling, på følgende måde: Vi starter med ligningen for uendelige geometriske rækker: k er antal forsøg og r er udfaldet fra forsøget. Vi kan i ligningen ovenfor dividere med a, for at gøre ligningen mere overskuelig: Differentierer vi dette får vi : Dette får vi, fordi den ydre funktion kan omskrives til . Ved at benytte differentiation af potensfunktioner, får vi differentieret til at blive . Da den indre funktion er , som blot skal indsættes, vil differentieret give . Daer en uendelig række af rk , skal hvert led i rækken differentieres. Da alle leddene er rk, kan vi nøjes med at differentiere dette på samme måde som ovenfor: Dvs. at differentieret giver . Dermed får vi at differentieret giver . Nu kan vi multiplicere med r på begge sider: vil give Idet er det samme som , som ved brug af potensregnereglen vil give .
På den anden side vil .
Nu har vi :
Sandsynligheden for at opnå succes ved de forskellige forsøg.
k er forsøgsnummeret og p er sandsynligheden for succes.
k
1
2
3
P(x=n)
p
(1-p)*p
(1-p)k-1*p
Et eksempel kunne være et slag med en terning, hvor succes er at slå en sekser.
k
1
2
3
P(x=k)
1/6
(1-(1/6))*(1/6) = 5/36
(1-(1/6))3-1*(1/6) = 25/216
Sandsynlighed for succes ved de forskellige forsøg og middelværdi.
Da vi har et forsøg, der udføres uendelig mange gange, hvor sandsynligheden for at få succes i forsøgene er (1-p)k-1*p og middelværdien er , kan vi beregne middelværdien af den geometriske fordeling med formlen:
Forventningsværdien ved en tællelig variabel:
Man beregner forventningsværdien for en tællelig variabel med formlen: Sandsynligheden for succes i udfaldet ri er pi. Hvis vi indsætter sandsynligheden for at få succes i forsøgene, vil den geometriske række se således ud: Ser man på sidste del af denne geometriske række, ses det at denne del også er en del af formlen for forventningsværdien ved uendelig mange forsøg. Der er altså en sammenhæng mellem disse to.
Introduktion til sandsynlighed
1. Der skal være en situation, hvor vi ikke kan forudsige, hvad der vil ske.
2. Udfaldene er de muligheder, vi vil tage i betragtning.
Geometrisk Fordeling.
Dette er en ligning til beregning af sandsynligheden i en given situation.
p er sandsynligheden for at få succes i hvert forsøg.
n er nummeret på antal forsøg første gang, vi får succes.
X: vi har en uendelig lang række af mulige antal forsøg, og X må altså ikke sættes til et bestemt tal.
Til gengæld kan du sætte det lig med n, som er nummeret på antal forsøg, første gang vi får succes.
Altså vil:
X = 1 à angive hændelsen at få en 6'er første gang
X = 2 à angive hændelsen, at den første 6'er fås anden gang.
Et eksempel kunne være:
Vi kaster med en terning og vil finde sandsynligheden for at få den første 6'er ved 5. slag.
Vi sætter altså n til 5, da vi skal finde sandsynligheden for at få succes første gang i 5. slag.
På en terning er der 6 mulige udfald, som vi vil tage i betragtning, vi har muligheden for at slå 1, 2, 3, 4, 5 og 6.
En 6'er er én ud af de 6 mulige, og sandsynligheden, p, for at udfaldet bliver 6 er derfor 1/6.
Tallene kan vi nu sætte ind i formlen for sandsynligheden:
Hvis formlen for sandsynlighed er svær at forstå, kan vi vise, at resultatet giver det samme med en anden metode.
Når vi skal finde sandsynligheden for, at den første 6'er fås i 5. slag, vil vi starte med at se, hvad sandsynligheden er for ikke at få en 6'er i første slag.
Der er 5 muligheder for udfald, der ikke giver 6, og sandsynligheden er derfor 5/6.
Igen i 2. slag vil sandsynligheden for ikke at få en 6'er være 5/6, og det samme i 3. og 4. slag.
I 5. slag vil vi dog ikke finde sandsynligheden for ikke at få en 6'er, men netop for at få en 6'er! Sandsynligheden er nu 1/6.
Denne metode kan være god til at lære at forstå sandsynlighed, dog er den ikke så nem at benytte i praktisk og med sværere sandsynlighedsregning.
Geometrisk sum
Stokastisk eksperiment: Et eksperiment, hvor vi ikke på forhånd kan have en fornuftig formodning om resultatet.
Hvis det samme stokastiske eksperiment gentages nogle gange, vil udfaldet variere tilfældigt fra gang til gang. Man kan skabe sig et overblik over fordelingen af udfaldene ved at beregne de ideelle frekvenser. Disse repræsenterer vores forventning om, hvad der vil ske i et meget stort antal forsøg:
Stokastisk model for eksperimentet:
Hvis vi fx kaster en terning, vil de seks mulige udfald ideelt forekomme lige ofte. Derfor sætter sandsynligheden for alle udfaldene til 1/6, da vi forventer, de hver vil forekomme i en sjettedel af tilfældene, hvis terningen kastes »uendelig mange gange«.
Da sandsynlighederne kan tolkes som frekvenser, vil vi forlange, at de opfører sig på samme måde som frekvenser. Det er vigtigt at fremhæve:
- Enhver sandsynlighed ligger mellem 0 og 1: 0 ≤ p ≤1.
2. Summen af sandsynlighederne skal altid give 1:
p1 +p2+... +pn = 1.Eksempel:
Der er seks mulige udfald, når man kaster med en terning, og hvis man lægger alle udfaldenes sandsynligheder sammen skal det giver 1.Teori og udregning:
For at se, at dette er rigtigt, skal vi se på noget teori bag.Vi kan benytte ligningen for sandsynlighed, som også ses i ”Geometrisk Fordeling”.
eller
Dette betyder at n starter på 1 og fortsætter til uendeligt.
For at gøre ligningen lettere at benytte ændrer vi n til at starte med 0.
Vi isolerer nu p:
Herefter benytter vi ligningen for uendelige geometriske rækker, som er følgende:
For at den er lettere at regne med, ganger vi med -1 i både nævner og tæller, og vi får:
Hvis vi sammenligner de to ligninger, ser vi, at (1-p) i sandsynlighedsligningen står på samme plads som x ligningen for uendelige geometriske rækker.
Vi kan derfor indsætte (1-p) på x’s plads i ligningen for uendelige geometriske rækker:
Vi får altså 1/p, som vi nu sætter tilbage ind i ligningen for sandsynligheden, og ganger det med det p vi før isolerede væk:
Vi får altså et resultat, der altid vil give 1.
Geometrisk række
En geometrisk række er defineret som summen af tallene i en geometrisk følge. En geometrisk række har den egenskab, at forholdet mellem et tal i rækken og det foregående tal er ens gennem hele rækken. En geometrisk følge ser således ud:
Vi skal vise, at udtrykket for denne sum kan simplificeres til følgende,
Vi laver et eksperiment, hvor vi har en endelig række af forsøg.
Denne række kalder vi i eksperimentet for r, og vi lader n være 5,
Dette udtryk kan simplificeres ved at gange med (1-r),
Her kan man se, at alle ledende, undtagen det yderste led i hver ende, vil gå ud med hinanden,
Det hedder, at summen teleskoperer, ogr reduceres til
Da vi lod n være 5 i eksperimentet passer det til den tidligere formel, fordi ar^6 er det samme som ar^(5+1). n+1 angiver altså antallet af forsøg.
En geometrisk række kan altså simplificeres ved at gange med (1-r)
Herefter kan man sætte a udenfor parentes,
Og så kan man dividere med (1-r) for at få formlen for en geometrisk række,
Men hvis rækken starter fra et tal, som ikke er 0, h, så er formlen,
Her følger en hurtig gennemgang af en række, hvor k ikke er 0,
Hvis man derimod har en uendelig lang række, og den numeriske værdi af r er mindre end 1 ( |r|<1 ), kan man beregne den endelige sum ved formlen, som vi udledte før,
Summen i en uendelig geometrisk række, hvis rækken starter med en eksponent på 0, kan beregnes ved a/1-r.
Eller i tilfælde af at rækken starter på et tal, som ikke er 0, h, er formlen,
Disse formler gælder dog kun, hvis |r|<1.
Anvendelse
Geometriske rækker kan blandt andet bruges til beregning af saldoen på en opsparing.Som eksempel har vi en bankkonto, hvor vi hvert år indsætter 1000 kroner. På denne konto får vi 2 % i rente hvert år. Ved hjælp af den tidligere udledte formel kan vi så beregne saldoen efter et bestemt antal år. Her tager vi 5 år som eksempel. Formlen med vores informationer indsat i vil så være,
I relation til de tidligere formler er a her 1000, r er 1.02 og n er 5.
Summen af den geometriske række fra 0 til 5 vil så være saldoen efter 5 år,
Saldoen efter 5 år er 5204 kroner.
Middelværdi
Når man taler om middelværdi, kan det have to betydninger. Det to betydninger er gennemsnittet og forventningsværdien.
Gennemsnittet kan regnes på flere måder, men den mest anvendte er det artimetiske-gennemsnit. Her tager man summen af en række tal og dividerer med antallet af tal. Denne regnemetode skrives således:
Gennemsnittet af tallene
Hvor k er er antallet af forsøg og i er indført som hjælpe udtryk.
Forventningsværdien:
Forventningsværdien for et forsøg, der er udført uendelig mange gange kan beregnes ud fra den geometriske fordeling, på følgende måde:Vi starter med ligningen for uendelige geometriske rækker:
k er antal forsøg og r er udfaldet fra forsøget.
Vi kan i ligningen ovenfor dividere med a, for at gøre ligningen mere overskuelig:
Differentierer vi dette får vi
Dette får vi, fordi den ydre funktion
Da den indre funktion er
Da
Dvs. at
Dermed får vi at
Nu kan vi multiplicere med r på begge sider:
Idet
På den anden side vil
Nu har vi :
Sandsynligheden for at opnå succes ved de forskellige forsøg.
k er forsøgsnummeret og p er sandsynligheden for succes.Et eksempel kunne være et slag med en terning, hvor succes er at slå en sekser.
Sandsynlighed for succes ved de forskellige forsøg og middelværdi.
Da vi har et forsøg, der udføres uendelig mange gange, hvor sandsynligheden for at få succes i forsøgene er(1-p)k-1*p og middelværdien er
Forventningsværdien ved en tællelig variabel:
Man beregner forventningsværdien for en tællelig variabel med formlen:Sandsynligheden for succes i udfaldet ri er pi.
Hvis vi indsætter sandsynligheden for at få succes i forsøgene, vil den geometriske række se således ud:
Ser man på sidste del af denne geometriske række, ses det at denne del også er en del af formlen for forventningsværdien ved uendelig mange forsøg. Der er altså en sammenhæng mellem disse to.